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国考行测备考经验谈之数量关系

2013-07-18   来源:半月谈网校    编辑:半月谈网校

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做了这几年的国考真题,感觉数量关系部分的难度不断的加大,想要在有限的时间里将此部分的题目全部做出,有很大的难度。据说此部分每题的分值较大,也就是说,能否得到较高的行测分数,与能否做好此部分有很大的关系。此部分虽然较难,但据说都是大多数考察考生对小学和初中奥数的掌握情况,汗吧。可惜我这个大学生的小初数学基础太差了,于是就拼命在网上搜集这方面的学习方法和规律,别说还真有点门道。

这部分的复习需分为两个步骤。一是夯实基础。这个阶段需要我们复习全部的数学知识点,了解每个知识点的做题方法,记忆一些必要的做题公式。做好基础知识储备,这样才能在做题中保持清晰的思路。二是提高速度。在掌握数学做题方法之后,我们要采用数学题海战术,通过不断的做题,摸索出更多的做题技巧,而不是一味的按套路去运算。

国考行测中,此部分试题的题型比较集中,共分为和差倍比问题、利润问题、行程问题、工程问题、容斥问题等几种类型。为了方便大家学习,我将自己的复习资料和笔记与大家分享一下。

1、和差倍比问题:

整除问题:
(1)整除的性质
A、如果数a和数b能同时被数c整除,那么a±b也能被数c整除。
B、如果数a能同时被数b和数c整除,那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。
C、如果数a能被数b整除,c是任意整数,那么积ac也能被数b整除。
D、平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9。
E、若一个数能被两个互质数的积整除,那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
F、若一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(2)整除特征
被3(或9)整除的数字各位数字之和能被3(或9)整除
被4(或25)整除的数字末两位数字能被4(或25)整除
被8(或125)整除的数字末三位数字能被8(或125)整除
被5整除的数字末位数字是0或50能被5整除
被11整除的数字奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除
三个连续的自然数之和(积)能被3整除。
1能整除任何整数,0能被任何非零整数整除。

余数问题:
特殊形式的口诀:余同取余,和同加和,差同减差,最小公倍数为最小周期。

2、行程问题:

行船问题:
(1)基本行船问题
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
由上述两个公式进行相加相减得以下两公式:
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
(2)变形行船问题——扶梯问题
A.沿电梯运动
能看到的电梯级数=人实际走过的级数+电梯本身移动的级数;
由于人实际走过的时间与电梯本身移动的时间相等,
那么,上式变形为:
能看到的电梯级数=顺行速度×沿电梯运动方向运动所需时间=(人速+电梯速度)×沿电梯运动方向运动所需时间;
B.逆电梯运动
能看到的电梯级数=人实际走过的级数-电梯本身走过的级数;
由于人实际走过的时间与电梯本身移动的时间相等,
那么,上式变形为:
能看到的电梯级数=逆行速度×逆电梯运动方向运动所需时间=(人速-电梯速度)×逆电梯运动方向运动所需时间。

追及问题:
追及问题是行程问题的常考典型应用题,是研究“同向运动”的问题,追及问题反映的是两个量或者多个量所走的路程、速度和时间的关系。核心就是速度差。
追及时间=路程差÷速度差;
路程差=追及时间×速度差;
速度差=路程差÷追击时间。

反向行程问题
(速度和)×相遇(离)时间=相遇(离)路程;
相遇(离)路程÷(速度和)=相遇(离)时间;
相遇(离)路程÷相遇(离)时间=速度和。

同向行程问题
追及(拉开)路程÷(速度差)=追及(拉开)时间;
追及(拉开)路程÷追及(拉开)时间=速度差;
(速度差)×追及(拉开)时间=追及(拉开)路程。

列车过桥问
(桥长+列车长)÷速度=过桥时间;
(桥长+列车长)÷过桥时间=速度;
速度×过桥时间=桥、车长度之和。

行船问题公式
(2)两船相向航行的公式:
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
(3)两船同向航行的公式:
后(前)船静水速度-前(后)船静水速度=两船距离缩小(拉大)速度。

3、工程问题:

(1)一般公式:
工效×工时=工作总量;工作总量÷工时=工效;工作总量÷工效=工时。
工作效率×工作时间=工作总量     工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷ 工作时间=工作效率

(2)用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式:
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几;
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
(注意:用假设法解工程题,可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时,分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题,计算将变得比较简便。)

4、浓度问题:

(1)溶剂的变化——蒸发与稀释问题
溶液蒸发,水含量降低,溶质浓度增加;
溶液稀释,溶剂含量增加,溶质浓度降低;
利用相同溶质的不同比例求解溶剂变化的情况。

(2)溶质变化——溶质的增减问题
一般而言,直接计算溶质的增减比较复杂,由于溶剂与溶质对立而统一,大部分情况下,溶质变化的浓度问题需要通过计算溶剂的变化来反推浓度。

(3)不同溶液的混合问题
A.浓度呈规律性变化
这类题往往具有多次操作,浓度不断变化且呈一定规律的特征。其关键是抓住浓度变化的统一规律,从而忽略掉每个步骤的分析过程,应用公式法,简化计算。
B.无规律变化
①某一溶液相对于混合后溶液,溶质增加;另一种溶液相对于混合后溶液,溶质减少。由于总溶质不变,因此增加的溶质等于减少的溶质。此类混合问题采用十字交叉法。
②使用混合判定法,从选项入手,根据溶液混合特性,使用带入排除法解题。

(4)十字交叉法
十字交叉法主要用于解决加权平均值问题,在浓度问题中即混合浓度问题。
两部分混合,第一部分的平均值为a,第二部分的平均值为b(这里假设a>b),混合后的平均值为r,利用十字交叉法有:
                  平均值              交叉作差            对应量
第一部分     a                         r-b                      A
总体平均值        r
第二部分     b                        a-r                       B
得到等式:(r-b)÷(a-r)=A÷B。

5、利润利率问题:

核心公式:利润=销售价-成本 
                    利润率=利润÷成本=(销售价-成本)÷成本=销售价÷成本-1。 
                    销售价=成本×(1+利润率) 
                    成本=销售价÷(1+利润率)

6、排列组合问题

(1)相临问题——捆绑法
例:7名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法?
解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的顺序。

(2)不相临问题——选空插入法
例:7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法?
解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法

(3)复杂问题——总体排除法
在直接法考虑比较难,或分类不清或多种时,可考虑用“排除法”,解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例:正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个?
解:从7个点中取3个点的取法有种,但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形,有3条,所以满足条件的三角形共有32个.

(4)特殊元素——优先考虑法 
对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安排。
例:1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法   种.
解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,有种,而其余学生的排法有 种,所以共有72种不同的排法.
例:乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有   种.
解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有 种排法,而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置,所以不同的出场安排共有252种.

(5)多元问题——分类讨论法
对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。
例:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(   )
解:增加的两个新节目,可分为相临与不相临两种情况:1.不相临;2.相临。故不同插法的要考虑这两种情况,故答案42种。

(6)混合问题——先选后排法
对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略.
例:12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有(     )
解:本试题属于均分组问题,要考虑12名同学均分成3组共有几种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有几种。

(7)相同元素分配——档板分隔法
例:把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考这些方法是否适合更一般的情况?
解:先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书;再对余下的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”(一般可视为“隔板”)共有几种插法,即有15种分法。

7、抽屉问题

抽屉原理的一般含义:假如有n+l或多于n+l个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。在公务员考试数学运算中,考查抽屉原理问题时,题干通常有“至少……,才能保证……”。掌握抽屉原理问题,可以帮助同学们解决“至少……”的问题。

(1)抽屉原理1:
将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。(也可以理解为至少有2件物品在同一个抽屉),一般遵循最差原则,即考虑极端情况,最差的情况。从各类公务员考试真题来看,“考虑最差情况”这一方法的使用广泛而且有效。

(2)抽屉原理2:
将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。(也可理解为至少有m+1件物品在同一个抽屉)

(3)逆用抽屉原理
即是对抽屉原理2的逆向思维,从“抽屉物品数量件数不少于m+1”推出m,然后根据公式,得出抽屉数量n。

8、概率问题

概率=满足条件的情况数÷总情况数
分类用加法,分步用乘法:
总体概率=满足条件的各种情况概率之和;
分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。
概率问题是排列组合的延伸,排列组合是概率问题的基础,而在解决排列组合问题的过程中,我们常用到这样一个公式:
满足条件的情况数=总情况数—不满足条件的情况数
而在概率问题中,这个公式也能适用,具体公式为:
某条件成立概率=总概率—该条件不成立的概率

9、容斥问题

在三集合题型中,假设满足三个条件的元素数量分别时A、B和C,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中,满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为z,可以得到下面两个等式:
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
例:某班有35个学生,每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。现已知参加英语小组的有17人,参加语文小组的有30人,参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了,问有多少个学生只参加了一个小组?
A. 15人         B.16人          C.17人          D.18人
解:套用三集合整体重复型公式:
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
35=x+y+5         
17+30+13=x×1+y×2+5×3
解得:x= 15,y=15

10、统筹问题

(1)时间统筹问题
时间统筹问题就是合理安排时间,合理利用等待时间,使得完成工作所用时间最少。其主要题型为一人做多事、多人做一事、多人做多事。通常有画图法、列表法、推理法.
解决此类问题时,需注意以下几点:
A、要做哪些工作,完成工作的程序,即先做什么,后做什么,哪些工作可以同时进行;
B、做每件工作所需的时间,进而分析出哪些工作可以同时完成。

(2)货物集中问题
货物集中问题即集中统筹问题,是指在将货物集中的同时,使得货物的运费最省
集中统筹问题的“核心法则”:
即在非闭合路径上(如线形、树形等)有多个“点”,点上有一定重量的货物,每个点之间由一定的路径连接,把货物集中到一点上最优的方式遵循法则:确定一点,判断该点两端货物的重量,把轻的一端向重的一端集中。

(3)人员分配问题
人员分配问题一般是如何分配使其所用人员数量达到最少的最优分配。
核心法则:
如果有X个工厂和Y辆车,则最少需要的装卸工人数为:
A.当X>Y时,所需的装卸工总数最少是需要装卸工人数最多的Y个工厂所需的装卸工人数之和;
B.当X≤Y时,所需的装卸工总数最少是各个工厂需要的装卸工人数之和。

(4)最优效率分配问题
最优效率分配即效率统筹,是根据完成工作的效率不同,合理分配工作,使得完成这些工作所用时间最少。一般来说,应优先分配做某件事情效率最高的人(或物)来做该件事情,即最优效率分配原则。
列表法是常用方法:
列表法就是将各个工作及效率以表格的形式表示出来,之后根据最优效率分配原则,分配工作,进而求得最优分配方法。
 

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